Differenza tra seno e coseno

In un triangolo rettangolo, dato un angolo α, è necessario identificare il cateto opposto (nella figura 1, a) e quello adiacente (b); il seno (abbreviato sen) di α è il rapporto tra la lunghezza di a e dell’ipotenusa (c), mentre il coseno (abbreviato cos) è il rapporto tra la lunghezza di b e quella di c. Conseguentemente, a=senα*c e b=cosα*c.

Una prima differenza tra seno e coseno sta quindi in quale cateto considerare nel rapporto con l’ipotenusa.

Valutando la figura 2, α è un angolo delimitato dalla semiretta s che parte dal centro di una circonferenza (O, coincidente con l’origine degli assi cartesiani) e dall’asse delle ascisse; il triangolo rettangolo (OAB, linea arancione tratteggiata) costruito su di essa con angolo α avrà un valore assoluto di senα pari alla lunghezza del segmento disegnato in rosso, mentre un valore assoluto di cosα pari alla lunghezza del segmento verde. Da qui, la seconda differenza tra seno e coseno.

Se vengono applicate tali funzioni a qualsiasi numero facente parte dell’insieme dei numeri reali, il loro valore sarà sempre compreso tra -1 e +1.

Nel caso in cui α = 0, la lunghezza del segmento verde sarà massima (ossia uguale al raggio della circonferenza) mentre il segmento rosso sarà nullo; se invece α = 90° (ossia π/2) sarà il segmento rosso ad assumere il valore massimo, mentre il segmento verde sarà uguale a 0. Conseguentemente, cos(0)=1, cos(π/2)=0, sen(0)=0 e sen(π/2)=1. Come si può dedurre, se π/2<α<3π/2 la funzione seno assumerà valori negativi; lo stesso vale per il coseno se π<α<2π.

cosα e cos(α + 2kπ) (dove k è qualsiasi numero intero) hanno lo stesso valore, così come sono uguali sen(α) e sen(α + 2kπ); questo fa sì che entrambe le funzioni siano periodiche con periodo 2π, ma con una differenza: dato il fatto che all’aumentare del valore assoluto del seno diminuisce quello del coseno e viceversa, la curva del grafico delle due funzioni è simile, ma traslata. La curva della funzione seno è detta sinusoide, mentre quella del coseno cosinusoide: nel primo caso, per x = 0, y = 0; nel secondo caso per x = 0, y = 1.

Più approfonditamente, esistono delle relazioni tra seno e coseno: ad esempio, sen²α + cos²α = 1 (conseguenza del Teorema di Pitagora).